Conjuntos

Conjuntos

Objetivo do capítulo:

Após estudo deste capítulo você será capaz de:
· Usar a notação de teoria dos conjuntos;
· Encontrar o conjunto das partes de um conjunto finito;
· Determinar a união, intersecção, a diferença, o complemento e o produto cartesiano de conjuntos.

Você faz um levantamento entre 87 assinantes de seu boletim informativo, preparando-se para lançar seu novo programa de computador. Os resultados de seu levantamento revelam que 68 assinantes têm disponível um sistema baseado em Windows, 34 têm disponível um sistema Unix e 30 têm acesso a um Mac. Além disso, 19 têm acesso a ambos, Windows e Unix, 11 têm acesso a ambos, Unix e Mac, e 23 podem usar tanto Windows quanto Mac.

Pergunta: Quantos de seus assinantes têm acesso a todos os três tipos de sistema?

Esse é um problema típico de contagem: você pode querer contar o número de elementos em uma determinada coleção ou conjunto – o conjunto de todos os assinantes com acesso aos três sistemas.
A teoria dos conjuntos é uma das pedras fundamentais da matemática, em que muitos dos seus problemas podem ser expressos em linguagem de conjuntos. Operações podem ser efetuadas em conjuntos para gerar novos conjuntos.

Definição: Usaremos a idéia intuitiva de que conjunto é uma coleção de objetos. Em geral, todos os objetos em um conjunto têm uma propriedade em comum (além de pertencerem ao mesmo conjunto); assim, qualquer objeto que tem essa propriedade pertence ao conjunto e qualquer objeto que não tem essa propriedade não pertence ao conjunto.

Notação:

Usaremos letras maiúsculas para denotar conjuntos e o símbolo para denotar pertinência em um conjunto. Assim, a A significa que a pertence a A, ou é um elemento do conjunto A, e b A. Usamos chaves para indicar um conjunto.
Exemplo: Se A = {x N / x 5}, então 5, 6, 7,8,... A e 4,3,2,1,0 A.

Os elementos em um conjunto não têm nenhuma ordem, de modo que {6, 9, 10, 5, 7, ...} é o mesmo que {9, 10, 6, 7, 5, ...}. Além disso, cada elemento de um conjunto é listado apenas uma vez; é redundante listá-lo de novo.
Dois conjuntos são iguais se contêm os mesmos elementos (Em uma definição, “se” significa, realmente, “se e somente se”, logo, dois conjuntos são iguais se, e somente se, contêm os mesmos elementos).
Dessa forma, quando A = B, temos que [(x A x B) (x B x A)]
Algumas vezes, vamos nos referir ao conjunto que não tem elementos (o conjunto vazio), denotado por ou por { }. Por exemplo, se S = {x x N e x < 0}, então S = . Note que o conjunto é o conjunto que não tem elementos e é diferente de { }, que é o conjunto com um único elemento em que esse elemento é o conjunto vazio.

Relação entre conjuntos

Para A = {2, 3, 5, 12} e B = {2, 3, 4, 5, 9, 12}, todo elemento de A é, também, um elemento de B. Quando isso acontece, dizemos que A é um subconjunto de B.
Se A é um subconjunto de B, escrevemos A B. Se A B, mas A B (existe pelo menos um elemento de B que não pertence a A), então A é um subconjunto próprio de B, e escrevemos A B.

Sejam:
A = {1, 7, 9, 15}
B= {7, 9}
C = {7, 9, 15, 20}

Então, as seguintes proposições são verdadeiras:

B C 15 C
B A {7, 9} B
B A {7} A
A C A

Problema:

Sejam:

A = {x x R e x2 – 4x + 3 = 0}
B = {x x N e 1 x 4}

Prove que A B.

Resolução:






Sabemos que A e B são conjuntos iguais quando eles têm os mesmos elementos. Podemos escrever essa igualdade em termos de subconjuntos: A = B se, e somente se, A B e B A provar a inclusão na duas direções é a maneira usual de estabelecer a igualdade de dois conjuntos.


Conjuntos de Conjuntos

Para um conjunto S, podemos formar um novo conjunto cujos elementos são os subconjuntos de S. Esse novo conjunto é chamado o conjunto das partes de S e denotado por

Exemplo: Para S = {0,1}, ={ , {0}, {1}, {0,1}}. Note que os elementos do conjunto das partes de um conjunto são conjuntos.
Para qualquer conjunto S, sempre tem , pelo menos, e S como elementos, já que sempre é verdade que S e S S.

Problema: Para A = {1,2,3}, o que é ?


Assim, se S tem n elementos, então tem ______ elementos. (Sua resposta também funciona para n = 0?)

Podemos mostrar de diversas maneiras que, para um conjunto S com n elementos, o conjunto das partes tem 2n elementos. O único conjunto com zero elementos é . O único subconjunto de é , logo, = { }, um conjunto com 1 = 20 elementos. Assim, vamos supor que, para qualquer conjunto com k elementos, o conjunto de suas partes tem 2k elementos.
Uma outra maneira de mostrar que tem 2n elementos quando S tem n elementos é fazer uma analogia com as tabelas-verdade. Lá havia n letras de proposição e mostramos que existiam 2n combinações verdadeira/falsa entre essas letras. Mas também podemos pensar em cada combinação verdadeira/falsa como representando um subconjunto particular, com V indicando que o elemento pertence ao subconjunto e F indicando que ele não pertence. (Por exemplo, a linha da tabela-verdade com todas as letras de proposição tendo o valor lógico F corresponde ao conjunto vazio). Assim, o número de combinações verdadeira/falsa entre n letras de proposição é igual ao número de subconjuntos de um conjunto com n elementos; ambos são iguais a 2n.

Operações em Conjuntos

A maior parte das operações que vimos opera em números, mas também podemos operar em conjuntos. Dado um conjunto arbitrário S, podemos definir algumas operações no conjunto . S nesse caso é chamado de conjunto universo.
Exemplo: Seja S o conjunto de todos os estudantes da faculdade U. Então, os elementos de são conjuntos de estudantes. Seja A o conjunto de estudantes de ciência da computação e seja B o conjunto de estudantes de administração. Ambos A e B pertencem a . Um novo conjunto de estudantes pode ser definido, consistindo em todos os alunos de ciência da computação ou de administração (ou ambos); esse conjunto é a união de A e B. Um outro novo conjunto que pode ser definido é o conjunto dos alunos que estudam, ao mesmo tempo, ciência da computação e administração. Esse conjunto (que pode ser vazio) é chamado interseção de A e B.

Definição: União e Interseção de Conjuntos
Sejam A , B . A união de A e B, denotada por A B, é {xx A ou x B}. A interseção de A e Bm denotada por A B, é {xx A e x B}.





Exemplo: Sejam A = {1,3,5,7,9} e B={3,5,6,10,11}. Podemos considerar aqui A e B como elementos de Então, A B = {1,3,5,6,7,9,10,11} e A B = {3,5}. Ambos A B e A B são elementos de .
Podemos usar Diagramas de Venn para visualizar as operações de união e interseção. As áreas sombreadas ilustram os conjuntos que resultam dessas operações nos dois conjuntos dados.
Definição: Complemento de um Conjunto
Para um conjunto A , o complemento de A, A’, é {xx S e x A}.

A B
A B
A
B
S
A
B
S











Ilustre A’em um Diagrama de Venn:

Definição: Diferença entre Conjuntos
Sejam os conjuntos A e B . Temos A-B = {xx A e x B}. Essa operação pode ser reescrita como A - B = {xx A e x B’} ou como A – B = A B’.



Ilustre A – B em um Diagrama de Venn:



Identidades envolvendo conjuntos

Existem muitas igualdades entre conjuntos envolvendo as operações de união, interseção, diferença e complementação que são verdadeiras para todos os subconjuntos de um dado conjunto S. Os nomes e formas dessas identidades são muito semelhantes às equivalências tautológicas.

Identidades básicas envolvendo conjuntos:

Comutatividade
1 a . A B = B A 1 b .A B = B A
Associatividade
2 a. (A B) C = A (B C) 2 b .(A B) C = A (B C)
Distributividade
3 a .A (B C) = (A B) (A C) 3 b .A (B C) = (A B) (A C)
Elemento Neutro
4 a . A = A 4 b .A S = A
Complemento
5 a . A A’ = S 5 b .A A’=


Problema:
01) Sejam A = {1,2,3,5,10}
B = {2,4,7,8,9}
C={5,8,10}
Subconjuntos de S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
a) A B
b) A – C
c) B’ (A C)

02) Quantos conjuntos diferentes estão descritos a seguir? Quais são eles?
{2, 3, 4}

{2,a,3,b,4,c}

03) Prove que, se A B e B C, então A C.

04) Prove que, se A’ B’, então B A
.
05) Encontre se A={a}.

06) Encontre se A = {1,2,3,4}. Quantos elementos você espera que esse conjunto tenha?

07) Encontre se A = { }

08) Sejam

A = {2,4,5,6,8}
B={1,4,5,9}
C={x x Z e 2 x < 5}
Subconjuntos de S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Encontre
a) A B
b) A B
c) A C
d) B C
e) A – B
f) A’
g) A A’
h) (A B)’
i) (A B)’
j) C – B
k) (C B) A’
l) (B – A)’ (A – B)
m) (C’ B)

09) Considere os seguintes subconjuntos do conjunto de todos os estudantes:
A = o conjunto de todos os estudantes de ciência da computação
B = o conjunto de todos os estudantes de física
C = o conjunto de todos os estudantes de matemática
D = o conjunto de todas as estudantes mulheres

Usando as operações definidas nos conjuntos, descreva cada um dos conjuntos a seguir em termos de A, B, C, D:
a) O conjunto de todos os estudantes que não são de matemática;
b) O conjunto de todas as mulheres estudantes de física;
c) O conjunto de todos os estudantes que pretendem se formar, ao mesmo tempo, em ciência da computação e em física;
d) O conjunto de todos os homens estudantes de ciência da computação;
e) O conjunto de todos os homens que não são estudantes de física;
f) O conjunto de todos os estudantes de matemática que não s!ao de ciência da computação;
g) O conjunto de todos os estudantes que são mulheres ou que estudam ciência da computação.

10) Escreva uma expressão com conjunto para o resultado de uma busca de rede sobre páginas a respeito de cães que não são de caça. Supondo D = conjunto de páginas sobre cães e R = conjunto de páginas sobre cães de caça.

11) Prove que (A B) C = A (B C) se, e somente se, C A

12) A e B são subconjuntos de um conjunto S. prove as seguintes identidades mostrando a inclusão dos conjuntos em cada direção:
a) (A B)’ = A’ B’
b) (A B)’ = A’ B’
c) A (B A) = A
d) (A B) (A B’) = A
e) (A B’)’ B = A’ B
f) [A (B C)]’ = A’ (B’ C’)

13) Responda ao exercício proposto no início do capítulo.


Exercícios

1- Em uma festa, foram servidos dois tipos de bebidas alcoólicas: vinho e cerveja. Sabe-se que na festa havia 55 pessoas, das quais 30 tomaram cerveja, 15 tomaram vinho e 20 tomaram apenas refrigerante. Então:
a) quantas pessoas tomaram tanto vinho quanto cerveja?
b) quantas pessoas tomaram vinho mas não tomaram cerveja?
c) quantas pessoas tomaram cerveja mas não tomaram vinho?

2- Em um determinado bairro, há 60 famílias, das quais 50 possuem rádio, 40 possuem televisão, 2 não possuem nenhum dos dois aparelhos. Pergunta-se:
a) quantas famílias possuem apenas rádio?
b) quantas famílias possuem apenas televisão?

3- Em um conservatório com 80 alunos, 50 estudam piano, 35 estudam violão e 20 estudam os dois instrumentos. Considerando-se apenas esses dois instrumentos, pergunta-se:
a) quantos alunos estudam apenas piano?
b) quantos alunos estudam apenas violão?
c) quantos alunos estudam ao menos um dos dois instrumentos (violão ou piano)?
d) quantos alunos não estudam nenhum dos dois instrumentos (nem violão nem piano)?

4- Em um seminário, freqüentado por pessoas de línguas inglesa, francesa e alemã, havia 35 pessoas. Sabe-se que na sala, 2 pessoas falavam as três línguas, 6 pessoas falavam apenas francês e 10 pessoas não falavam nem france nem alemão. Havia 5 pessoas que falavam inglês e francês, mas não falavam alemão, e dentre as pessoas que falavam alemão, havia 4 que não falavam inglês, mas falavam francês. Sabendo-se que 5 pessoas falavam apenas alemão, pergunta-se: quantas pessoas falavam inglês?

5- Em um clube há 60 crianças, das quais 40 gostam de futebol, 30 gostam de basquetebol e 20 de voleibol. Dentre as crianças que gostam de futebol, 10 não gostam de nenhum outro esporte, 3 gostam de três esportes e 14 gostam também de basquetebol mas não gostam de voleibol. Sabendo-se que há apenas uma criança que gosta de basquetebol e voleibol, mas não gosta de futebol, pergunta-se: quantas crianças não gostam de nenhum dos três esportes?

6- Em uma pesquisa, em que foram entrevistadas 400 pessoas, constatou-se: 120 pessoas lêem o jornal A, 90 lêem o jornal B, 70 lêem o jornal C, 40 lêem os jornais A e B, 35 lêem os jornais A e C, 25 lêem os jornais B e C e 7 lêem os três jornais. Pergunta-se:
a) quantas pessoas lêem apenas o jornal A?
b) quantas pessoas não lêem nenhum dos três jornais?

7- Em um grupo de 160 estudantes, 60 % assistem a aulas de francês e 40 % assistem a aulas de inglês, mas não às de francês. Dos que assistem a aulas de francês, 25 % também assistem a aulas de inglês. O número de estudantes, do grupo de 160 estudantes, que assistem a aulas de inglês é:
a) 40
b) 64
c) 66
d) 88
e) 90