Aritmetica

Aritmética de Máquina


Aritmética de Máquina

A Aritmética é a arte dos números, é a parte da matemática em que se investigam suas propriedades elementares.
A Aritmética de Máquina é aquela aplicada aos sistemas de computador e está em toda a parte, desde as calculadoras e PCs até os supercomputadores.
Matemáticos, físicos, engenheiros, enfim, todos os profissionais que trabalham com sistemas computadorizados onde padrões de representação de informações numéricas são necessários, têm como necessidade fundamental saber alguns conceitos elementares de como é feita a implementação e manuseio destas informações.

Informação, BIT, BYTE e Múltiplo de BYTE

A informática é a ciência que visa ao tratamento da informação através do uso de equipamentos e procedimentos da área de processamento de dados. A informação é uma coleção de fatos ou de outros dados fornecidos à máquina, a fim de se objetivar um processamento. É o elemento básico do qual dependem todos os processos de decisão.
Existem diversas maneiras de representarmos a informação. Dentre elas podemos destacar: gráfica, eletromagnética, mecânica, sonora. Existem outras maneiras de representarmos a informação, porém as que mais nos interessam já foram citadas.
O BIT (BInary DigiT) é a menor unidade de informação em um sistema digital. Um sistema digital é representado exclusivamente por dígitos, segundo um código convencionado, e, portanto, passível de processamento por computadores digitais: imagem digital; som digital. Simbolicamente o BIT é representado por um dos elementos do conjunto {0,1}. É representado pela letra latina minúscula b.
A informação pode ser representada por um BIT ou por um arranjo de BITs.
Exemplos de representação por um único BIT:
· “0” poderia representar “estou triste” e “1” estou feliz;
· “0” poderia representar o número zero e “1” o número um;
· “0” poderia representar a letra latina p e “1” a letra q;
· “0” poderia representar “estou triste” e “1” estou feliz;
· “0” poderia representar que um determinado condutor passa corrente elétrica e “1”, não passa.

Exemplos de representação de um arranjo de BITs:

· “00” poderia representar “estou triste”; “10” estou cansado; “01” estou confuso” e “11” , “estou perplexo”;
· “000” poderia representar o número zero, “001” o número um; “010” o número dois, “011” o número três, “100” o número quatro, “101” o número cinco, “110” o número seis e “111” o número sete.

É evidente, nos exemplos acima, que quanto maior for o conjunto de informações a ser representado, maior será o arranjo de BITs utilizado em sua representação. Exemplos:

· Num arranjo de 8 BITs podemos representar um total de 28 = 256 tipos de diferentes informações.
· Num arranjo de 16 BITs podemos representar um total de 216 = 653.536 tipos de diferentes informações.
· Num arranjo de 32 BITs podemos representar um total de 232 = 4.294.967.296 tipos de diferentes informações.

O BYTE (BinaY TErm) é uma unidade de informação que corresponde a 8 (oito) BITs. Frequentemente utilizamos a letra latina maiúscula B para designar tal unidade. Em termos simbólicos: 1 B = 8 b (1BYTe são 8 BITs).
Os múltiplos do BYTE, em termos simbólicos, são:
· 1kB = 1.024 B;
· 1MB = 1.024 kB;
· 1GB = 1024 MB;
· 1TB = 1024 GB.
O “k” significa quilo, o “M” significa Mega, o “G” significa giga e o “T” significa terá. Observe que esses números são as potências de 2 (dois) que mais se aproximam de 1.000 mil), 210 = 1024 (mil e vinte e quatro).

Bases numéricas e Representação de Reais

A representação de números por justaposição de dígitos é tratada, de forma geral, pelo seguinte teorema: “Todo número real x pode ser representado por uma justaposição de dígitos”.

em que:

- s {-1,1} é o sinal do número;
- b {2,3,4,...} é a base;
- dk, fk {0,1,2,...,b-1} são os dígitos da parte inteira e fracionária, respectivamente;
- n {0,1,2,...} (conjunto dos números naturais).

Exercícios: Escreva os números por justaposição de dígitos:

a) 49 = (49)10 = 4.10 + 9
b) (1101)2 = 1.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20
c) -1371 = (-1371)10 = -(1.103 + 3.102 + 7.101 + 1.100)
d) (1101,413)10 = 1.103 + 1.102 + 0.101 + 1.100 +
e) 3,142 =
f) 13,45 =
g) (01101,413)5 =
h) (110001)2 =
i) (2110)3 =
j) (3,1415927)16 =
k) (-72,16)7 =
l) ( ...)2 =





Bases usuais e seus respectivos dígitos

A tabela abaixo ilustra as bases mais usadas nas máquinas. Dentre elas é conveniente destacar que a base dois é de grande importância para microcomputadores e computadores em geral, enquanto que a base 10 é de grande importância para seres humanos e calculadoras comerciais e científicas.

Base
Conjunto de Dígitos
2
{0,1}
8
{0,1,2,3,...,7}
10
{0,1,2,3,...,9}
16
{0,1,2,3,...,9,A,B,C,D,...,F}

Primeiros Números das Bases Usuais

A Tabela, a seguir, ilustra os dezesseis primeiros números na base decimal, hexadecimal, octal e binária.

Tabela: Números das Bases Usuais

Decimal (10)
Hexadecimal (16)
Octal (8)
Binária (2)
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
2
10
3
3
3
11
4
4
4
100
5
5
5
101
6
6
6
110
7
7
7
111
8
8
10
1000
9
9
11
1001
10
A
12
1010
11
B
13
1011
12
C
14
1100
13
D
15
1101
14
E
16
1110
15
F
17
1111


Mudando de Base Numérica

Uma pergunta natural, neste momento, seria: como um número representado por justaposição de dígitos numa determinada base numérica pode ser representado, também, por justaposição de dígitos, em uma outra base?
Esta pergunta pode ser respondida em três etapas:
1) conversão de um número não decimal para um número decimal;
2) conversão da parte inteira na base decimal para uma base decimal: divisões sucessivas;
3) conversão da parte fracionária na base decimal para uma base não decimal: multiplicações sucessivas.



1) Conversão de um número não decimal para um número decimal:
Base não decimal (b≠10)
Base decimal (b=10)




Exercícios:

Faça a conversão do número não decimal para número decimal:

a) (110001)2 = ( )10
(110001)2 = 1.25 + 1.24 +0.23 +0.22 + 0.21 + 0.20 = 32 + 16 + 0 + 0 + 0 + 1 = 49 = (49)10
b) (61)8 = 6.81 + 1.80 = 48 + 1 = (49)10
c) (100)7 =
d) (-31)16 =
e) (37)14 =
f) (2110,12)3 =
g) (-72,16)7 =
h) (110,1101)2 =
i) (213,132)4 =
j) (FF,A2)16 = 15.161 + 15.160 +
k) (100,0110)2 =
l)1101)2 =
m) (-1101,414)5 =
n) (13,18)16 =